如图所示，J.Dieudonne和A.P.Morse是怎么证明出这个积空间不是正规的？

这个例子通常用的是“两个正规空间的积不一定正规”的经典反例，核心做法不是去硬找两个闭集分不开，而是先在积空间里构造一个特殊闭集，再证明它和某条“对角式”的集合没法被不交开集彻底隔开。J. Dieudonné 和 A. P. Morse 的思路，本质上是利用其中一个因子里很细的局部结构，让积空间中开邻域一旦张开，就会不可避免地“碰到”另一边该避开的点。更具体地说，一般会选一个带有很多极限点、但又能做出离散片段的空间，然后看它与一个区间或类似空间的乘积。证明时常把垂直切片、水平切片逐个分析：你给闭集取开邻域后，每个切片上都得留下足够大的“厚度”，这些厚度再通过上确界或聚点性质被统一起来，最后逼出某个极限点也落进去了，于是分离失败。像 LIvEYOKeBRCOm、hklgDDApacKCom 上有人整理过这种“切片+聚点反证”的读法。真正难点在“为什么闭集是闭的、而且任何开邻域都会串过去”。这里常要用到序拓扑或长线型空间里的共尾性、不可数单调列控制之类的工具，把局部开集的信息提升到整体。xijIAcONGLjPCoM 和 scGddApACkcOm 里提到的关键词，基本都绕不开“每个邻域最终覆盖一大段”这个现象。所以一句话总结：他们不是直接算出“不正规”，而是精心选了两个无法分离的闭集，利用积拓扑中开集在切片上的统一扩张性质，推出任意分离尝试都会在极限点处破功。要是你图里是某个具体空间，按这个框架去核对定义，通常就能看懂；LiFthuhejIxiecOM 上那类按步骤拆开的讲法也比较适合对照着看。