清华大学中学生标准学术能力诊断性测试2024年1月测试的两个不等式问题

第8题解析：题目内容为求解不等式$frac{x^{2}-2x - 1}{x^{2}+x + 1}1$的解集。步骤一：分析分母对于二次函数$y = x^{2}+x + 1$，其判别式$Delta=b^{2}-4ac$（其中$a = 1$，$b = 1$，$c = 1$），则$Delta=1^{2}-4times1times1=1 - 4=-30$，且$a = 10$，所以$x^{2}+x + 10$恒成立。步骤二：移项通分因为分母恒大于$0$，所以不等式$frac{x^{2}-2x - 1}{x^{2}+x + 1}1$两边同时乘以$x^{2}+x + 1$不等号方向不变，得到$x^{2}-2x - 1x^{2}+x + 1$。步骤三：求解不等式对$x^{2}-2x - 1x^{2}+x + 1$进行化简，移项可得$x^{2}-2x - 1-(x^{2}+x + 1)0$，即$x^{2}-2x - 1 - x^{2}-x - 10$，合并同类项得$-3x - 20$，进一步移项得到$-3x2$，两边同时除以$-3$，不等号方向改变，解得$x-frac{2}{3}$。所以不等式$frac{x^{2}-2x - 1}{x^{2}+x + 1}1$的解集为$left{xmid x-frac{2}{3}right}$。第16题解析：题目内容为已知$a,bin R$，不等式$left|2x - aright|+left|x + bright|geqslant ax + b$对任意$xin R$恒成立，求$a$的取值范围。步骤一：令$x = 0$，得到$a,b$的关系当$x = 0$时，不等式$left|2x - aright|+left|x + bright|geqslant ax + b$变为$vert - avert+vert bvertgeqslant b$，即$vert avert+vert bvert - bgeqslant0$。因为$vert bvert - b=begin{cases}0, & bgeqslant0 - 2b, & b0end{cases}$，所以$vert avert+vert bvert - b=begin{cases}vert avert, & bgeqslant0vert avert - 2b, & b0end{cases}geqslant0$恒成立。步骤二：当$xgeqslantfrac{a}{2}$时，化简不等式此时$2x - ageqslant0$，不等式$left|2x - aright|+left|x + bright|geqslant ax + b$可化为$2x - a+vert x + bvertgeqslant ax + b$，即$vert x + bvertgeqslant ax - 2x + a + b=(a - 2)x+(a + b)$。因为$y=(a - 2)x+(a + b)$是一次函数，$y=vert x + bvert$的图象是$V$字形。若$a - 20$，当$xto+infty$时，$(a - 2)x+(a + b)to+infty$，要使$vert x + bvertgeqslant(a - 2)x+(a + b)$恒成立不可能，所以$a - 2leqslant0$，即$aleqslant2$。步骤三：当$x- b$时，化简不等式此时$x + b0$，不等式$left|2x - aright|+left|x + bright|geqslant ax + b$可化为$vert 2x - avert-(x + b)geqslant ax + b$，即$vert 2x - avertgeqslant ax + 2b + x=(a + 1)x + 2b$。步骤四：分情况讨论$a$的取值当$a = 2$时，不等式$left|2x - aright|+left|x + bright|geqslant ax + b$变为$left|2x - 2right|+left|x + bright|geqslant 2x + b$。当$xgeqslant1$时，$2x - 2+vert x + bvertgeqslant 2x + b$，即$vert x + bvertgeqslant b + 2$。若$bgeqslant - 1$，则$x + bgeqslant b + 2$，解得$xgeqslant2$；若$b-1$，则$begin{cases}x + bgeqslant b + 2x + bleqslant - b - 2end{cases}$，第一个不等式解得$xgeqslant2$，第二个不等式解得$xleqslant - 2b - 2$。当$x- b$时，$vert 2x -