无共轭根真分式-考研信号与系统复习大全

部分分式展开法是求解拉普拉斯变换逆变换的重要方法，对于有重根无共轭根的真分式，可通过识别重根、确定部分分式形式、求解系数、特殊情况处理、验证与求和等步骤完成展开并求逆变换。识别重根观察拉普拉斯变换式的分母，找出其中重复出现的因子，这些因子对应的根就是重根。例如，在分母多项式中，若存在因子$(s + a)^2$，则$s=-a$就是重根，这里$(s + a)$是重复出现的因子。确定部分分式形式对于一阶重根$(s + a)^n$（$n$为正整数），其对应的部分分式形式为$frac{K_1}{(s + a)}+frac{K_2}{(s + a)^2}+ldots+frac{K_n}{(s + a)^n}$。其中$K_1,K_2,ldots,K_n$是待确定的系数。例如，当$n = 2$，即分母有因子$(s + a)^2$时，部分分式形式为$frac{K_1}{(s + a)}+frac{K_2}{(s + a)^2}$。求解系数可通过比较变换式两侧在特定点（如重根的各阶导数点）的值或导数来求解未知系数。例如，设$F(s)=frac{N(s)}{(s + a)^2}$（$N(s)$为分子多项式），将其展开为$frac{K_1}{(s + a)}+frac{K_2}{(s + a)^2}$，通分可得$frac{K_1(s + a)+K_2}{(s + a)^2}$。那么$N(s)=K_1(s + a)+K_2$。令$s=-a$，可得$N(-a)=K_2$。对$N(s)=K_1(s + a)+K_2$两边求导，$N^prime(s)=K_1$，再将$s = - a$代入$N^prime(s)$，可求出$K_1$。特殊情况处理因为题目限定为“无共轭根”，所以只需专注于实根的处理。复数根及其共轭对通常会使部分分式展开形式更复杂，涉及复数的运算和逆变换，但在此情况下无需考虑，简化了问题复杂度。例如，若分母有共轭复根$s=alphapm jbeta$，部分分式展开会包含$frac{A}{s - (alpha + jbeta)}+frac{A^}{s - (alpha - jbeta)}$（$A^$是$A$的共轭复数）这样的形式，而现在无需处理这类情况。验证与求和验证系数：将求解出的系数代入部分分式展开式，然后通分，看是否与原变换式相等，以此验证系数的正确性。部分分式求和：确认系数正确后，将所有部分分式相加，得到原变换式的部分分式展开形式。此时，每个部分分式都对应一个易于求逆变换的简单形式，例如$frac{1}{s + a}$的逆变换为$e^{-at}epsilon(t)$（$epsilon(t)$为单位阶跃函数），这样就可以方便地求出原变换式的逆变换。