李群李代数及其表示：总集篇

本文概述答银了李群李代数的基本概念和关键定理，包括Lie群的定义、其Lie代数的构造和性质，以及它们之间的联系。Lie群的微分结构、渣吵对称性和微分结构的确定是核心内容。例如，定理1.1阐述了Lie群的Lie代数与其线性空间的同构，而定理1.3则揭示了Lie群元素对易关系与Lie代数对易子的关系。在讨论李代数的分解和约化时，我们引入了清梁宴幂零和可解Lie代数的概念，以及半单Lie代数的根系和表示论。紧李群的表示论中，Weyl积分公式和特征公式是重要的工具，它们展示了紧致Lie群的特殊性质。本文以简洁的形式概述了这些核心理论，为深入理解李群李代数打下了基础。