李群和李代数 —— 名字听起来很猛其实也没那么复杂

初读高博的《14讲》，对李群和李代数部分感到难以理解，尽管我学过线性代数，但面对大量论证，我选择了跳过。然而，在了解到最小二乘优化和状态估计的重要性后，我意识到这部分内容的价值，并决定深入研究。虽然《14讲》的论述清晰，但缺乏足够的亲和力，难以让初学者理解。因此，我想以一个初学者的视角，用更通俗易懂的方式介绍李群和李代数。为何要在SLAM中引入李群和李代数？答案是为了求导。在SLAM中，我们关注的是如何从一个坐标系转换到另一个坐标系，这需要用到旋转矩阵和变换矩阵。首先，让我们了解旋转矩阵和变换矩阵。假设我们有一个坐标系，其单位正交基底为[公式]，我们可以用a1、a2、a3表示空间中的任意一点。然而，我们的坐标系并不唯一，比如在SLAM中，我们会有世界坐标系和机器人坐标系。为了描述两个坐标系之间的关系，我们引入了旋转矩阵R，它是一个行列式为1的正交矩阵，表示旋转前后同一点坐标值的变换关系。同时，我们还有变换矩阵T，它由旋转矩阵和平移向量组成，表示当前机器人（相机）的位置和姿态。然而，旋转矩阵和变换矩阵存在一些问题。首先，旋转矩阵的团碰表示方式存在冗余，我们可以用更简洁的方式表示旋转，即旋塌滚谈转向量。其次，在最小二乘优化中，旋转矩阵的更新方式存在困难，因为特殊正交群对加法不封闭。为了解决这个问题，我们引入了李群和李代数。李群是连续的群，特殊正交群和特殊欧式群都是李群的一种。李代数是李群在幺元处的正切空间，它描述了李群的局部性质。通过李代数，我们可以对旋转矩阵进行求导，从而解决最小二乘优化中的问题。在本文中，我们介绍了李群和李代数的概念，以及它们在备如SLAM中的应用。通过学习这些概念，我们可以更好地理解SLAM中的位姿估计和优化问题。