网问答>>x的系数不是1,如何用绝对值不等式求最值,
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x的系数不是1,如何用绝对值不等式求最值,

时间:2021-05-03 06:12:31
l2x-4l + l3x+3l +2 lx-1l
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你可以下看看下面问题的解答过程。结论在最后的推广部分:问题:|x+1|+|x+2|+|x+3|+…+|x+n| 的最小值怎么求?依据:z=|x-a|+|x-b|可以看作数轴上点C(表示数x)到点A(表示数a)和到点B(表示数b)的距离之和AC+BC,可知当点C在线段AB上时,z取得最小值AB,即|a-b|.推导:z=|x+1|+|x+2|+…+|x+n|,表示x到-1,-2,…,-n各点的距离之和.①当n为偶数时,设n=2k.|x+1|+|x+2k|≥2k-1,当且仅当-2k≤x≤-1时取等;|x+2|+|x+(2k-1)|≥(2k-1)-2,当且仅当-(2k-1)≤x≤-2时取等;…|x+k|+|x+(k+1)|≥(k+1)-k,当且仅当-(k+1)≤x≤-k时取等.累加后可得,当-(k+1)≤x≤-k,即-(n/2+1)≤x≤-n/2时,z取最小值,为((k+1)+(k+2)+…+2k)-(1+2+…+k)=k=n/4.②当n为奇数时,设n=2k+1.|x+1|+|x+(2k+1)|≥(2k+1)-1,当且仅当-(2k+1)≤x≤-1时取等;|x+2|+|x+2k|≥2k-2,当且仅当-2k≤x≤-2时取等;…|x+k|+|x+(k+2)|≥(k+2)-k,当且仅当-(k+2)≤x≤-k时取等;|x+(k+1)|≥0,当且仅当x=-(k+1)时取等.累加后可得,当x=-(k+1),即x=-(n+1)/2时,z取最小值,为((k+2)+(k+3)+…+(2k+1))-(1+2+…+k)=k(k+1)=(n-1)/4.综上,推广:设a1≤a2≤a3≤…≤an,z=|x-a1|+|x-a2|+…+|x-an|.若n为偶数,则x等于最中间两项之间任意值时,z取得最小值;若n为奇数,则x为中位数时,z取得最小值.此题中,l2x-4l + l3x+3l +2 lx-1l=|x+1|+|x+1|+|x+1| +|x-1|+|x-1| +|x-2|+|x-2| (n=7,为奇数,x取1)≥2+2+2+0+0+1+1=8. (当且仅当x=1时取等)参考资料如下:|x+1|+|x+2|+|x+3|+…+|x+n| 的最小值
时间:2021-05-03 06:12:32
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